Question

在一個(gè)木制的棱長(zhǎng)為3的正方體表面涂上顏色，將它的棱三等分，然后從每個(gè)等分點(diǎn)把正方體鋸開，得到27個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體，將這些小正方體充分混合后，裝入一個(gè)口袋中．
（1）從這個(gè)口袋中任意取出一個(gè)小正方體，求這個(gè)小正方體的表面恰好沒有顏色的概率；
（2）從這個(gè)口袋中同時(shí)任意取出2個(gè)小正方體，將其中一個(gè)小正方體恰好有1個(gè)面涂有顏色，另一個(gè)小正方體至少有2個(gè)面涂有顏色的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，分析可得在得到的27個(gè)小正方體中，表面沒有涂色的有1個(gè)，有一面涂色的有6個(gè)，有兩面涂色的有12個(gè)，有三面涂色的有8個(gè)，由古典概型公式計(jì)算可得答案；
（Ⅱ）首先計(jì)算從27個(gè)小正方體中任取2個(gè)小正方體的情況數(shù)目，在再分2種情況討論計(jì)算其中一個(gè)小正方體恰好有1個(gè)面涂有顏色，另一個(gè)小正方體至少有2個(gè)面涂有顏色的數(shù)目，由古典概型公式計(jì)算可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，在得到的27個(gè)小正方體中，表面沒有涂色的有1個(gè)，有一面涂色的有6個(gè)，有兩面涂色的有12個(gè)，有三面涂色的有8個(gè)，
（Ⅰ）共27個(gè)正方體，其中面沒有涂色的有1個(gè)，
則其概率P=

1

27

，
（Ⅱ）從27個(gè)小正方體中任取2個(gè)小正方體，有C₂₇²種情況，
其中一個(gè)正方體恰好有1個(gè)面涂有顏色，另一個(gè)有2個(gè)面涂有顏色的情況有C₆¹C₁₂¹種，
而一個(gè)正方體恰好有1個(gè)面涂有顏色，另一個(gè)有3個(gè)面涂有顏色的情況有C₆¹C₈¹種，
則其概率P=

C 1 6 C 1 12 + C 1 6 C 1 8

C 2 27

=

40

117

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，分析得到表面涂色數(shù)目不同的各種小正方體的數(shù)目．