Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣2|．
（1）若函數(shù)f（x）的值域為[﹣4，4]，求實數(shù)m的值；
（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集為M，且[2，4]M，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由不等式的性質(zhì)得：||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|

因為函數(shù)f（x）的值域為[﹣4，4]，

所以|m﹣2|=4，

即m﹣2=﹣4或m﹣2=4

所以實數(shù)m=﹣2或6

（2）解：f（x）≥|x﹣4|，即|x﹣m|﹣|x﹣2|≥|x﹣4|

當2≤x≤4時，|x﹣m|≥|x﹣4|+|x﹣2||x﹣m|≥﹣x+4+x﹣2=2，|x﹣m|≥2，

解得：x≤m﹣2或x≥m+2，

即原不等式的解集M=（﹣∞，m﹣2]或M=[m+2，+∞），

∵[2，4]M，

∴m+2≤2m≤0或m﹣2≥4m≥6

所以m的取值范圍是（﹣∞，0]∪[6，+∞）

【解析】（1）由不等式的性質(zhì)得：||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|，即|m﹣2|=4，解得實數(shù)m的值；（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集M=（﹣∞，m﹣2]或[m+2，+∞），結(jié)合[2，4]M，可求實數(shù)m的取值范圍．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的值域的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的．