Question

【題目】已知A、B為橢圓（）和雙曲線的公共頂點(diǎn)，P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動(dòng)點(diǎn)，且（，），設(shè)AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為、、、.

（1）若，求的值（用a、b的代數(shù)式表示）；

（2）求證：；

（3）設(shè)、分別為橢圓和雙曲線的右焦點(diǎn)，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）8．

【解析】

（1）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得，設(shè)點(diǎn)，，將兩點(diǎn)分別代入雙曲線方程和橢圓方程并求解可得，，從而可求；

（2）設(shè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為，，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入雙曲線方程變形可得，則，同理可得，相加即可證明結(jié)論；

（3）由（2），，又，則，，從而，解得，，因?yàn)?/span>O，P，Q三點(diǎn)共線且，所以，則，可求，結(jié)合①可得，再求，同理可求和，由此即可求得結(jié)果.

（1）如圖，，，

，，

若，則，設(shè)點(diǎn)，，

將兩點(diǎn)分別代入雙曲線方程和橢圓方程中得：，，

解得，，，故；

（2）設(shè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為，，

則，即，

所以，①，

同理，②，由（1）知，O，P，Q三點(diǎn)共線，

，由①②得，；

（3）由（2），，又，則，

即，，從而，又，

解得，，

因?yàn)?/span>O，P，Q三點(diǎn)共線且，所以，

則，所以，

由①得，同理，

另一方面，，類似地，，

故.