Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.已知曲線： （為參數(shù)）， ：（為參數(shù)）.

（1）化，的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；

（2）直線的極坐標(biāo)方程為，若上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)到直線距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系消去參數(shù)，即可化為普通方程，并根據(jù)方程形式判斷曲線類型.

（2）先根據(jù)題意，將直線的直角坐標(biāo)方程求出來(lái)，將坐標(biāo)求出來(lái)，再利用參數(shù)法，表示線段的中點(diǎn)到直線距離，從而得到該距離的函數(shù)，通過(guò)研究函數(shù)得到其最小值.

（1）因?yàn)?/span>： （為參數(shù)），

消去參數(shù)得：，表示以為圓心，為半徑的圓；

因?yàn)?/span>：（為參數(shù)），

消去參數(shù)得：，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓.

（2）因?yàn)橹本�的極坐標(biāo)方程為，

利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程為：，

因?yàn)槿?/span>上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，所以，

因?yàn)?/span>為上的動(dòng)點(diǎn)，則設(shè)，

所以線段的中點(diǎn)，

設(shè)到直線距離為，則有

所以當(dāng)時(shí)，.