Question

【題目】已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上，離心率為且過(guò)點(diǎn)(4，－ )．

(1)求雙曲線方程；

(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上；

(3)求△F1MF2的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）6.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)雙曲線的離心率，得到雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ，點(diǎn)代入求出參數(shù)λ的值，從而求出雙曲線方程，
（2）把點(diǎn)M（3，m）代入雙曲線，可得出m2＝3，再代入·，即可證明．
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面積．

試題解析：

(1)∵離心率e＝，∴設(shè)所求雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，則由點(diǎn)(4，－)在雙曲線上，知

λ＝42－(－)2＝6，

∴雙曲線方程為x2－y2＝6，即－＝1.

(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，則32－m2＝6，∴m2＝3.

由雙曲線x2－y2＝6知，F1(2，0)，F2(－2，0)，

∴·＝(2－3，－m)·(－2－3，－m)

＝9－(2)2＋m2＝0.

∴⊥，∴點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上．

(3)S△F1MF2＝×2c×|m|＝c|m|＝2×＝6.