Question

【題目】如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角60°為的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉庫M，N（異于村莊A），要求PM=PN=MN=2（單位：千米）．記∠AMN=θ．
（1）將AN，AM用含θ的關(guān)系式表示出來；
（2）如何設(shè)計(jì)（即AN，AM為多長時(shí)），使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最�。�即工廠與村莊的距離AP最大）？

Answer 1

【答案】
（1）解：∠AMN=θ，在△AMN中，由正弦定理得： = =

所以AN= ，AM=

（2）解：AP2=AM2+MP2﹣2AMMPcos∠AMP

= sin2（θ+60°）+4﹣ sin（θ+60°）cos（θ+60°）

= [1﹣cos（2θ+120°）]﹣ sin（2θ+120°）+4

= [ sin（2θ+120°）+cos（2θ+120°）]+

= ﹣ sin（2θ+150°），θ∈（0°，120°）（其中利用誘導(dǎo)公式可知sin（120°﹣θ）=sin（θ+60°））

當(dāng)且僅當(dāng)2θ+150°=270°，即θ=60°時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小，此時(shí)AN=AM=2．

【解析】（1）根據(jù)正弦定理，即可θ表示出AN，AM；（2）設(shè)AP2=f（θ），根據(jù)三角函數(shù)的公式，以及輔助角公式即可化簡f（θ）；根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求出函數(shù)的最值．