Question

【題目】若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，依次連接的四個頂點(diǎn)所得四邊形的面積為40.

（1）試求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若曲線M上任意一點(diǎn)到的右焦點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，直線經(jīng)過的下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，，直線與曲線M相交于點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，點(diǎn)Q在第四象限內(nèi)），設(shè)的下頂點(diǎn)是B，上頂點(diǎn)是D，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)根據(jù)條件列出關(guān)于的等式構(gòu)建方程組求解出，即可求解出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)根據(jù)拋物線的定義可求的軌跡方程，利用直線聯(lián)立的軌跡方程得到韋達(dá)定理形式，再根據(jù)三角形的面積比求解出直線的方程.

（1）由題意可知：解得，∴所求的標(biāo)準(zhǔn)方程是；

（2）由（1）可知的右焦點(diǎn)是，下頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)是又由拋物線定義可知：曲線M是一條拋物線，M的焦點(diǎn)是

∴M的方程是，又，

∴，∴，設(shè)直線的方程為

則聯(lián)立方程組：，消去得：，

且，所以，所以，

所以由韋達(dá)定理得：，又由可得，即：

∴聯(lián)立方程組：，解得：，或

又∵點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，點(diǎn)Q在第四象限內(nèi)，∴不合，舍去

∴所求直線的方程為，即：.