Question

已知橢圓C:的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).
(I)求橢圓C的方程；
(II)若直線y =kx交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，在直線l:x+y-3=0上存在點(diǎn)P,使得 ΔPAB為等邊三角形,求k的值.

Answer 1

(I)； (II)  或．

解析試題分析：(I)由圖形的對(duì)稱性及橢圓的幾何性質(zhì)，易得，進(jìn)而寫出方程； (II) 先找到AB中垂線與l的交點(diǎn)，保證ΔPAB為等腰三角形，再滿足即可保證ΔPAB為等邊三角形，此外，注意對(duì)于特殊情形的討論．
試題解析：
(I)因?yàn)闄E圓的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，
一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn),
所以,橢圓的方程為．               4分
(II)設(shè)則
當(dāng)直線的斜率為時(shí)，的垂直平分線就是軸，
軸與直線的交點(diǎn)為,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bb/8/dqzyl1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
所以是等邊三角形,所以滿足條件；           6分
當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)的方程為
所以，化簡(jiǎn)得
所以 ，則      8分
設(shè)的垂直平分線為，它與直線的交點(diǎn)記為
所以，解得,
則                                        10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/63/7/v2s9w.png" style="vertical-align:middle;" />為等邊三角形， 所以應(yīng)有
代入得到，解得（舍），     13分
綜上可知， 或                               14分 
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．