Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）證明：；

（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（1）令,再證明在定義域內(nèi)小于等于零即可。

（2）令，對的取值進(jìn)行分類討論，然后判斷的值是否符合題意，或者利用導(dǎo)數(shù)在分析函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用來找出的哪些取值符合題意即可.

試題解析：（Ⅰ）令,則

當(dāng)所以

即在遞增；在遞減；

所以，

（Ⅱ）記則在上，，

①若，，時，，單調(diào)遞增，，

這與上矛盾；

②若，，上遞增，而，這與上矛盾；

③若，， 時，單調(diào)遞減；時單遞增；

∴，即恒成立；

④若，，時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，∴，這與上矛盾；

⑤若，，時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，∴這與上矛盾．

綜上，實數(shù)的取值范圍是．

點晴：本題考查的是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的綜合應(yīng)用，第一問不等式的證明通過作差構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識證明其最大值小于等于零即可;第二問中 令，和第一問的區(qū)別在于中含有參數(shù),利用導(dǎo)數(shù)在分析函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用來找出的哪些取值符合題意即可.