Question

已知f(x)=x²-2x+2,其中x∈［t,t+1］,t∈R.函數(shù)f(x)的最小值為t的函數(shù)g(t).試計算當(dāng)t∈［-3,2］時，g(t)的最大值.

Answer 1

解析：由f(x)=x²-2x+2得f(x)=(x-1)²+1圖象的對稱軸為直線x=1.

    當(dāng)t+1≤1時，區(qū)間［t,t+1］在對稱軸的左側(cè)，函數(shù)f(x)在x=t+1處取得最小值f(t+1);

    當(dāng)0＜t＜1時，x=1在區(qū)間［t,t+1］的內(nèi)部，函數(shù)f(x)在x=1處取得最小值f(1);

    當(dāng)t≥1時，區(qū)間［t,t+1］在對稱軸的右側(cè)，函數(shù)f(x)在x=t處取得最小值f（t）.

    綜上可得

g(t)=

    又t∈［-3,2］,

    當(dāng)t∈［-3,0］時，求得g(t)的最大值為f(-3)=10;

    當(dāng)t∈［0,1］時，g(t)恒為1；

    當(dāng)t∈［1，2］時，求得g(t)的最大值為f(2)=2.

    故當(dāng)t∈［-3,2］時，g(t)_max=10.