Question

（2013•德州一模）已知銳角α，β滿足3tanα=tan（α+β），則tanβ的最大值為

3

3

．

Answer 1

分析：由條件利用兩角和的正切公式化簡(jiǎn)可得tanβ=

2tanα

1+3tan2α

=

2

1 tanα +3tanα

，再利用基本不等式求得它的最大值．

解答：解：∵已知銳角A，B滿足tan（α+β）=3tanA，∴tanα＞0，tanβ＞0，
且

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=3tanα，化簡(jiǎn)可得 tanβ=

2tanα

1+3tan2α

=

2

1 tanα +3tanα

≤

2

2 3

=

3

3

當(dāng)且僅當(dāng)

1

tanα

=3tanα 時(shí)，取等號(hào)，故tanβ的最大值為

3

3

．
故答案為：

3

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，利用基本不等式求式子的最大值，屬于中檔題．