Question

已知?jiǎng)又本�與橢圓交于、兩不同點(diǎn)，且△的面積=，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）證明和均為定值；

（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；

（3）橢圓上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，判斷△的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）；（3）不存在點(diǎn)滿足要求.

【解析】

試題分析：（1）先檢驗(yàn)直線斜率不存在的情況，后假設(shè)直線的方程，利用弦長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得與均為定值；（2）由（1）可求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入并利用基本不等式求最值；（3）假設(shè)存在，使得，由（1）得，，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求出直線的方程，從而得到結(jié)論.

試題解析：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以

因?yàn)?/span>在橢圓上，因此①

又因?yàn)?/span>所以②

由①、②得，此時(shí) 2分

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為

由題意知，將其代入，得

其中即 （*）

又

所以

因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為

所以

又，整理得，且符合（*）式

此時(shí)

綜上所述，結(jié)論成立 5分

（2）解法一：

（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（I）知

因此 6分

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（I）知

所以

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立

綜合（1）（2）得的最大值為 9分

解法二：因?yàn)?/span>

所以

即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立

因此的最大值為 9分

（3）橢圓C上不存在三點(diǎn)，使得 10分

證明：假設(shè)存在滿足

由（I）得

解得

所以只能從中選取，只能從中選取

因此只能在這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)

而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過(guò)原點(diǎn)

與矛盾

所以橢圓上不存在滿足條件的三點(diǎn) 14分.

考點(diǎn)：1.點(diǎn)到直線的距離公式；2.三角形的面積計(jì)算公式；3.直線與橢圓的綜合問(wèn)題.