Question

如圖，某廣場中間有一塊扇形綠地OAB，其中O為扇形OAB所在圓的圓心，∠AOB=60°，扇形綠地OAB的半徑為r．廣場管理部門欲在綠地上修建觀光小路：在

AB

上選一點C，過C修建與OB平行的小路CD，與OA平行的小路CE，且所修建的小路CD與CE的總長最長．
（1）設∠COD=θ，試將CD與CE的總長s表示成θ的函數(shù)s=f（θ）；
（2）當θ取何值時，s取得最大值？求出s的最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,弧度制

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）設扇形的半徑為r．在△ODC 中，∠AOB=60°，∠CDO=120°，利用正弦定理得

r

sin∠CDO

=

CD

sin∠COD

，可求得CD與CE，從而可得函數(shù)s=f（θ）；
（2）利用三角恒等變換，可求得s=

2 3

3

rsinθ+

2 3

3

rsin（

π

3

-θ）=

2 3

3

rsin（

π

3

+θ），θ∈（0，

π

3

）；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得s的最大值．

解答： 解：（1）設扇形的半徑為r，
在△ODC 中，∠AOB=60°，則∠CDO=120°，由正弦定理得

r

sin∠CDO

=

CD

sin∠COD

，
∴CD=

2 3

3

rsinθ，同理CE=

2 3

3

rsin（

π

3

-θ），
∴s=f（θ）=

2 3

3

rsinθ+

2 3

3

rsin（

π

3

-θ），θ∈（0，

π

3

）；
（2）∵s=

2 3

3

rsinθ+

2 3

3

rsin（

π

3

-θ）
=

2 3

3

rsinθ+

3

2

×

2 3

3

rcosθ-

1

2

×

2 3

3

rsinθ
=

3

3

rsinθ+rcosθ=

2 3

3

rsin（

π

3

+θ），θ∈（0，

π

3

）；
∵θ∈（0，

π

3

），
∴

π

3

+θ∈（

π

3

，

2π

3

），
∴當

π

3

+θ=

π

2

，即θ=

π

6

 時，s_max=f（

π

6

）=

2 3

3

r．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查正弦定理與兩角差與兩角和的正弦，考查運算求解能力，屬于中檔題．