Question

（2014•蘭州一模）設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），直線l：x=a²交x軸于點(diǎn)A，且

AF1

=2

AF2

．
（1）試求橢圓的方程；
（2）過(guò)F₁、F₂分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點(diǎn)（如圖所示），試求四邊形DMEN面積的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意，|F₁F₂|=2c=2，A（a²，0），利用

AF1

=2

AF2

，可得F₂為AF₁的中點(diǎn)，從而可得橢圓方程；
（2）分類討論：當(dāng)直線DE（或MN）與x軸垂直時(shí)，四邊形DMEN的面積S=

|DE||MN|

2

=4；當(dāng)直線DE，MN均與x軸不垂直時(shí)，設(shè)DE：y=k（x+1），代入消去y，求出|DE|，|MN|，從而可得四邊形的面積的表達(dá)式，利用換元法，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，|F₁F₂|=2c=2，A（a²，0）
∵

AF1

=2

AF2

∴F₂為AF₁的中點(diǎn)
∴a²=3，b²=2
∴橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1…（5分） 
（2）當(dāng)直線DE與x軸垂直時(shí)，|DE|=

2b2

a

=

4

3

，此時(shí)|MN|=2a=2

3

，四邊形DMEN的面積S=

|DE||MN|

2

=4．
同理當(dāng)MN與x軸垂直時(shí)，四邊形DMEN的面積S=

|DE||MN|

2

=4．
當(dāng)直線DE，MN均與x軸不垂直時(shí)，設(shè)DE：y=k（x+1），代入橢圓方程，消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0
設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-6k2

2+3k2

，x₁x₂=

3k2-6

2+3k2

所以，|x₁-x₂|=

4 3 × k2+1

2+3k2

，所以|DE|=

k2+1

|x₁-x₂|=

4 3 (k2+1)

2+3k2

，
同理|MN|=

4 3 ( 1 k2 +1)

2+ 3 k2

                 …（9分）
所以四邊形的面積S=

|DE||MN|

2

=

1

2

×

4 3 (k2+1)

2+3k2

×

4 3 ( 1 k2 +1)

2+ 3 k2

=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

令u=k2+

1

k2

，則S=4-

4

13+6u

因?yàn)閡=k2+

1

k2

≥2，當(dāng)k=±1時(shí)，u=2，S=

96

25

，且S是以u(píng)為自變量的增函數(shù)，所以

96

25

≤S＜4．
綜上可知，

96

25

≤S≤4．
故四邊形DMEN面積的最大值為4，最小值為

96

25

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查四邊形面積的計(jì)算，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確求弦長(zhǎng)是關(guān)鍵．