Question

在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為平行四邊形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.若M是線段AD的中點,

求證:GM∥平面ABFE.

Answer 1

見解析

證明：方法一:因為EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,

所以∠EGF=90°,
△ABC∽△EFG.
由于AB=2EF,因此BC=2FG.
連接AF,由于FG∥BC,FG=BC,
在?ABCD中,M是線段AD的中點,則AM∥BC,
且AM=BC,因此FG∥AM且FG=AM,
所以四邊形AFGM為平行四邊形,因此GM∥FA.
又FA?平面ABFE,GM?平面ABFE,
所以GM∥平面ABFE.
方法二:因為EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,

∴∠EGF=90°,
△ABC∽△EFG.
由于AB=2EF,∴BC=2FG.
取BC的中點N,連接GN,
因此四邊形BNGF為平行四邊形,所以GN∥FB.
在?ABCD中,M是線段AD的中點,連接MN,
則MN∥AB.
∵MN∩GN=N,∴平面GMN∥平面ABFE.
又GM?平面GMN,∴GM∥平面ABFE.