Question

已知一直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與曲線y=x³-3x²+2x相切，試求直線l的方程．

Answer 1

分析：設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），則y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，由于直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故等式的兩邊同除以x₀即得切線的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)x₀處的切線斜率，便可建立關(guān)于x₀的方程．在兩邊同除以x₀時(shí)，要注意對(duì)x₀是否為0進(jìn)行討論．

解答：解：設(shè)直線l：y=kx．∵y′=3x²-6x+2，∴y′|_x=0=2，
又∵直線與曲線均過(guò)原點(diǎn)，于是直線y=kx與曲線y=x³-3x²+2相切于原點(diǎn)時(shí)，k=2．
若直線與曲線切于點(diǎn)（x₀，y₀）（x₀≠0），則k=

y0

x0

，∵y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，
∴

y0

x0

=x₀²-3x₀+2，
又∵k=y′|_x=x0=3x₀²-6x₀+2，
∴x₀²-3x₀+2=3x₀²-6x₀+2，∴2x₀²-3x₀=0，
∵x₀≠0，∴x₀=

3

2

，∴k=x₀²-3x₀+2=-

1

4

，
故直線l的方程為y=2x或y=-

1

4

x．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，以及直線方程和切線問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．