Question

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點A(0，

2

)為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個焦點與A關于直線y=x對稱．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A，B兩點，另一直線l經(jīng)過M（-2，0）及AB的中點，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍；
（Ⅲ）若Q是雙曲線C上的任一點，F(xiàn)₁F₂為雙曲線C的左，右兩個焦點，從F₁引∠F₁QF₂的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，則kx-y=0，由該直線與圓x2+(y-

2

)2=1相切，知雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．由此利用雙曲線C的一個焦點為 (

2

，0)，能求出雙曲線C的方程．
（Ⅱ）由

y=mx+1 x2-y2=1

，得（1-m²）x²-2mx-2=0．令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2．直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程f（x）=0在（-∞，0）上有兩個不等實根．由此能求出直線l在y軸上的截距b的取值范圍．
（Ⅲ）若Q在雙曲線的右支上，則延長QF₂到T，使|QT|=|QF₁|，若Q在雙曲線的左支上，則在QF₂上取一點T，使|QT|=|QF₁|．由此能求出點N的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，
則kx-y=0
∵該直線與圓x2+(y-

2

)2=1相切，
∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．
故設雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1．
又雙曲線C的一個焦點為 (

2

，0)
∴2a²=2，a²=1．
∴雙曲線C的方程為x²-y²=1．
（Ⅱ）由

y=mx+1 x2-y2=1

得（1-m²）x²-2mx-2=0．
令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2
直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程f（x）=0在（-∞，0）上有兩個不等實根．
因此

△＞0 2m 1-m2 ＜0 -2 1-m2 ＞0

解得1＜m＜

2

．
又AB中點為(

m

1-m2

，

1

1-m2

)，
∴直線l的方程為y=

1

-2m2+m+2

(x+2)．
令x=0，
得b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8

．
∵m∈(1，

2

)，
∴-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)
∴b∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．
（Ⅲ）若Q在雙曲線的右支上，
則延長QF₂到T，使|QT|=|QF₁|，
若Q在雙曲線的左支上，
則在QF₂上取一點T，使|QT|=|QF₁|．
根據(jù)雙曲線的定義|TF₂|=2，
所以點T在以F2(

2

，0)為圓心，2為半徑的圓上，
即點T的軌跡方程是(x-

2

)2+y2=4(x≠0)①
由于點N是線段F₁T的中點，
設N（x，y），T（x_T，y_T）．
則

x= xT- 2 2 y= yT 2

，即

xT=2x+ 2 yT=2y

．
代入①并整理得點N的軌跡方程為x²+y²=1.(x≠-

2

2

)

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．