Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過(guò)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)A(0，

2

)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)，另一直線l經(jīng)過(guò)M（-2，0）和線段AB的中點(diǎn)，求直線l在y軸上截距b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出雙曲線的漸近線方程，寫出圓的方程，利用直線與圓相切的充要條件：圓心到切線的距離等于半徑列出關(guān)于斜率的方程，求出漸近線斜率，根據(jù)漸近線的斜率判斷出是等軸雙曲線，根據(jù)雙曲線三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出雙曲線方程
（II）將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的二次方程，利用韋達(dá)定理求出兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和及積，令和小于0積大于0求出m的范圍，同時(shí)求出兩個(gè)交點(diǎn)中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式求出另一條直線的方程，令x=0得到縱截距，看成關(guān)于m的函數(shù)，求出函數(shù)的值域即縱截距的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，
又該直線與圓x2+(y-

2

)2=1相切
所以 1=

|k×0- 2 |

k2+1

?k=±1
可設(shè)雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1
又雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為（

2

，0），
所以2a²=2?a²=1
所求雙曲線C的方程為  x²-y²=1
（Ⅱ）由 

y=mx+1 x2-y2=1

得(1-m2)x2-2mx-2=0依題意

4m2+8(1-m2)＞0 2m 1-m2 ＜0 -2 1-m2 ＞0

?1＜m＜

2

線段AB的中點(diǎn)為(

m

1-m2

，

1

1-m2

)，直線l的方程y=

1

-2m2+m+2

(x+2)令x=0，得b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8

因?yàn)閙∈(1，

2

)，所以-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)
所以 直線l在y軸上截距b∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一般將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)得到關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的二次方程，利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，作為突破口來(lái)找思路．