Question

兩個(gè)二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c與g（x）=-x²+2x+d的圖象有唯一的公共點(diǎn)P（1，-2）．
（Ⅰ）求b，c，d的值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=（f（x）+m）•g′（x），若F（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，求m的范圍，并指出是單調(diào)遞增函數(shù)，還是單調(diào)遞減函數(shù)．

Answer 1

分析：（I）由題意可得（1，-2）為兩拋物線的頂點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求b，c，d
（II）由（I）可求f（x），g（x），代入可求F（x）=（f（x）+m）•g′（x），對(duì)函數(shù)F（x）求導(dǎo)，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷F‘（x）的正負(fù)，從而可判斷函數(shù)的單調(diào)性

解答：解：（I）由題意可得（1，-2）為兩拋物線的頂點(diǎn)
∴

g(1)=1+d=-2 - 1 2 b=1 4c-b2 4 =1

∴d=-3，b=-2，c=2
（II）由（I）可得f（x）=x²-2x+2，g（x）=-x²+2x-3
∴F（x）=（f（x）+m）•g′（x）
=（x²-2x+2+m）（-2x+2）
∵F′（x）=-6x²+12x-（2m+8）
∵F（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，
∴F′（x）=-6x²+12x-（2m+8）≤0恒成立
∴△=144-24（2m+8）≤0
∴m≥-1
函數(shù)是單調(diào)遞減的函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)