【題目】已知矩形ABCD的長AB=4,寬AD=3,將其沿對角線BD折起,得到四面體A﹣BCD,如圖所示,給出下列結(jié)論:
①四面體A﹣BCD體積的最大值為 ;
②四面體A﹣BCD外接球的表面積恒為定值;
③若E、F分別為棱AC、BD的中點,則恒有EF⊥AC且EF⊥BD;
④當二面角A﹣BD﹣C為直二面角時,直線AB、CD所成角的余弦值為 ;
⑤當二面角A﹣BD﹣C的大小為60°時,棱AC的長為 .
其中正確的結(jié)論有(請寫出所有正確結(jié)論的序號).
【答案】②③④
【解析】解:①四面體ABCD體積最大值為兩個面互相垂直,四面體A﹣BCD體積的最大值為 =
,故不正確;
②三棱錐A﹣BCD外接球的半徑為 ,所以三棱錐A﹣BCD外接球的表面積為4
=25π;②正確;
③若E、F分別為棱AC、BD的中點,連接AF,CF則AF=CF,根據(jù)等腰三角形三線合一得到EF⊥AC;
連接DE,BE,容易判斷△ACD≌△ACB,得到DE=BE,所以EF⊥BD;所以③正確;
④當二面角A﹣BD﹣C為直二面角時,以C為原點CB,CD所在直線分別為x,y軸,則由向量的數(shù)量積可以得到直線AB、CD所成角的余弦值為 ,所以④正確.
⑤當二面角A﹣BD﹣C的大小為60°時,棱AC的長為 ,在直角三角形ABD中,AB=4,AD=3,BD=5,
作AE⊥BD,CF⊥BD,則AE=CF= ,DE=BF=
,
同理直角三角形ABC中,則EF=BD﹣DE﹣BF= ,
在平面ABD內(nèi),過F作FH∥AE,且FH=AE,連接AH,易得四邊形AEFH為矩形,
則AH=EF= ,AH∥EF,
FH⊥DB,又CF⊥DB,即有∠CFH為二面角C﹣BD﹣A的平面角,且為60°,
即CH=CF= ,
由BD⊥平面CFH,得到BD⊥CH,即有AH⊥CH,
則AC= =
,故⑤錯誤;
所以答案是:②③④.
【考點精析】本題主要考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征的相關(guān)知識點,需要掌握側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在海岸線一側(cè)
處有一個美麗的小島,某旅游公司為方便游客,在
上設(shè)立了
兩個報名點,滿足
中任意兩點間的距離為
.公司擬按以下思路運作:先將
兩處游客分別乘車集中到
之間的中轉(zhuǎn)點
處(點
異于
兩點),然后乘同一艘輪游輪前往
島.據(jù)統(tǒng)計,每批游客
處需發(fā)車2輛,
處需發(fā)車4輛,每輛汽車每千米耗費
元,游輪每千米耗費
元.(其中
是正常數(shù))設(shè)∠
,每批游客從各自報名點到
島所需運輸成本為
元.
(1) 寫出關(guān)于
的函數(shù)表達式,并指出
的取值范圍;
(2) 問:中轉(zhuǎn)點距離
處多遠時,
最?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=x2+bx+c且f(0)=f(2),則( )
A.f(﹣2)<f(0)<f( )
B.f( )<f(0)<f(﹣2)??
C.f( )<f(﹣2)<f(0)
D.f(0)<f( )<f(﹣2)
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【題目】在四邊形ABCD中,已知 ∥
,
=(6,1),
=(x,y),
=(﹣2,﹣3).
(1)求用x表示y的關(guān)系式;
(2)若 ⊥
,求x、y值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我市為增強市民的環(huán)境保護意識,面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡分組:第1組,第2組
,第3組
,第4組
,第5組
,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)分別求第3,4,5組的頻率.
(2)若從第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場宣傳活動,應從第3,4,5組各抽取多少名志愿者?
(3)在(2)的條件下,我市決定在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗,求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率.
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【題目】對于定義域為D的函數(shù)y=f(x),若同時滿足下列條件:
①f(x)在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;
②存在區(qū)間[a,b]D,使f(x)在[a,b]上的值域為[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫閉函數(shù).
(1)求閉函數(shù)y=﹣x3符合條件②的區(qū)間[a,b]
(2)判斷函數(shù)f(x)= 是否為閉函數(shù)?并說明理由;
(3)若y=k+ 是閉函數(shù),求實數(shù)k的范圍.
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【題目】下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)的是( )
A.f(x)=
B.f(x)=log2x
C.f(x)=( )x
D.f(x)=﹣x2+2
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓 =1(a>b>0)的離心率為
.A為橢圓上異于頂點的一點,點P滿足
=
,
(1)若點P的坐標為(2, ),求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點P的一條直線交橢圓于B,C兩點,且 =m
,直線OA,OB的斜率之積﹣
,求實數(shù)m的值;
(3)在(1)的條件下,是否存在定圓M,使得過圓M上任意一點T都能作出該橢圓的兩條切線,且這兩條切線互相垂直?若存在,求出定圓M;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,摩天輪的半徑為
,它的最低點
距地面的高度忽略不計.地上有一長度為
的景觀帶
,它與摩天輪在同一豎直平面內(nèi),且
.點
從最低點
處逆時針方向轉(zhuǎn)動到最高點
處,記
.
(1)當時,求點
距地面的高度
;
(2)試確定的值,使得
取得最大值.
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