Question

【題目】已知為拋物線的焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn),拋物線在兩點(diǎn)處的切線分別是,且相交于點(diǎn),則的小值是___.

Answer 1

【答案】6

【解析】

設(shè)直線l的方程為：y＝kx+1，A（），B（）．聯(lián)立化為：x2﹣4kx﹣4＝0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|＝＝k（）+4．對x2＝4y兩邊求導(dǎo)可得：y′，可得切線PA的方程為：y﹣（x﹣），切線PB的方程為：y﹣（x﹣），聯(lián)立解得P點(diǎn)坐標(biāo)，可得代入|PF|，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出．

設(shè)直線l的方程為：y＝kx+1，A（），B（．

聯(lián)立，化為：x2﹣4kx﹣4＝0，

可得：＝4k，＝﹣4，

|AB|＝＝k（）+4＝4k2+4．

對x2＝4y兩邊求導(dǎo)可得：y′，

可得切線PA的方程為：y﹣（x﹣）

切線PB的方程為：y﹣（x﹣），

聯(lián)立解得：x（）＝2k，y＝﹣1．∴P（2k，﹣1）．

∴|PF|．

∴|PF|，

令t≥2．

則|PF|tf（t），

f′（t）＝1，當(dāng)t>4, f′（t）>0;t<4, f′（t）<0

可得t＝4時，函數(shù)f（t）取得極小值即最小值f（4）＝6．當(dāng)且僅當(dāng)k時取等號．

故答案為：6．