Question

如圖，A₁、A₂為圓x²+y²=1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，P₁P₂為垂直于x軸的弦，且A₁P₁與A₂P₂的交點(diǎn)為M．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線E，若過點(diǎn)A（0，1）的直線l與曲線E交于y軸右邊不同兩點(diǎn)C、B，且

AC

=2

AB

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）直線A₁P₁：y=

yp

xp+1

•(x+1)，直線A₂P₂：y=

1-xp

x-1

，由M是A₁P₁和A₂P₂的交點(diǎn)，求得xm=

1

xp

，xp=

1

xm

，而yp=

1-xp2

=

xm2-1

xm

，由此能夠?qū)С鯩點(diǎn)軌跡方程．
（2）設(shè)直線l方程為y=kx+1，x²-（kx+1）²=1，xc=

-k+ 2-k2

k2-1

，xb=

-k- 2-k2

k2-1

，由

AC

=2

AB

，得k2=

9

5

，從而得到直線l方程．

解答：解：（1）直線A₁P₁：y=

yp

xp+1

•(x+1)，直線A₂P₂：y=

1-xp

x-1

，
∵M(jìn)是A₁P₁和A₂P₂的交點(diǎn)，所以

yp

xp+1

•(xm+1)=

yp

1-xp

 •(xm-1)，
求得xm=

1

xp

，xp=

1

xm

，
而yp=

1-xp2

=

xm2-1

xm

，
所以M點(diǎn)軌跡方程是x²-y²=1．
（2）設(shè)直線l方程為y=kx+1，
∴x²-（kx+1）²=1，
xc=

-k+ 2-k2

k2-1

，
xb=

-k- 2-k2

k2-1

，
∵

AC

=2

AB

，，所以x_c=2x_b，
將上面式子代入，解得k2=

9

5

，
因?yàn)橹本�l與曲線E交于y軸“右邊”不同兩點(diǎn)C，B，
所以k=-

3

5

（正值舍去）
直線l方程為y=-

3

5

x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．