Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-x；
（1）若f（x）在(-

1

3

，1)上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求證：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)≥x-

3

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)f（x）在(-

1

3

，1)上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，可得f′（1）=0，從而可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，g（x）=f（x）-x+

3

2

=x³-

1

2

x²-2x+

3

2

，證明x=1時(shí)，g（x）_min=g（1）=0，即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：f′（x）=3x²-2ax-1，
∵f（x）在(-

1

3

，1)上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f′（1）=0，
∴a=1；
（2）證明：當(dāng)a=

1

2

時(shí)，g（x）=f（x）-x+

3

2

=x³-

1

2

x²-2x+

3

2

，
則g′（x）=3x²-x-2=（x-1）（3x+2），
∴0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，x＞1時(shí)，g′（x）＞0，
∴x=1時(shí)，g（x）_min=g（1）=0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）≥0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)≥x-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，同時(shí)考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是得出x=1時(shí)，g（x）_min=g（1）=0．