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          （14分）已知函數(shù)，且其導(dǎo)函數(shù)的圖像過原點．
          （Ⅰ）當時，求函數(shù)的圖像在處的切線方程；
          （Ⅱ）若存在，使得，求的最大值；
          （Ⅲ）當時，求函數(shù)的零點個數(shù)．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          解析: ,
          由得  ,.---------------------2分
           (Ⅰ) 當時, ,，,
          所以函數(shù)的圖像在處的切線方程為,即--------------------4分
           (Ⅱ) 存在,使得,
            ，，
          當且僅當時，
          所以的最大值為.                                         -----------------9分
          極大值
          極小值
           (Ⅲ) 當時，的變化情況如下表：
          - 
           
           
           
           
          ---11分
           
          的極大值，的極小值
          又，.
          所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個零點，
          故函數(shù)共有三個零點。--------------------14分
          注：①證明的極小值也可這樣進行:
          設(shè)，則
          當時, ,當時, ,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,從而的極小值.
          ②證明函數(shù)共有三個零點。也可這樣進行:
          的極大值，的極小值,
          當 無限減小時，無限趨于 當 無限增大時，無限趨于
              故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個零點，
          故函數(shù)共有三個零點。--------------------14分
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)fn(x)=xn，（x∈N*），其導(dǎo)函數(shù)記為fn′（x），且滿足fn′[ax1+(1-a)x2]  =
          f2(x2)-f2(x1) x2-x1
          ，其中a，x1，x2為常數(shù)，x1≠x2．設(shè)函數(shù)g（x）=f1（x）+mf2（x）-lnf3（x），（m∈R且m≠0）．
          （Ⅰ）求實數(shù)a的值；
          （Ⅱ）若函數(shù)g（x）無極值點，其導(dǎo)函數(shù)g′（x）有零點，求m的值；
          （Ⅲ）求函數(shù)g（x）在x∈[0，a]的圖象上任一點處的切線斜率k的最大值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：廣東省惠州市2013屆高三第一次調(diào)研考試數(shù)學文科試題
				題型：044
			
          

						
          

          已知函數(shù)，且其導(dǎo)函數(shù)的圖像過原點．
          

          (1)當a＝1時，求函數(shù)f(x)的圖像在x＝3處的切線方程；
          

          (2)若存在x＜0，使得，求a的最大值；
          

          (3)當a＞0時，求函數(shù)f(x)的零點個數(shù)．
          

          

          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2012-2013學年廣東省高三8月摸底考試文科數(shù)學試卷（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          已知函數(shù)，且其導(dǎo)函數(shù)的圖像過原點.
          


          (1)當時，求函數(shù)的圖像在處的切線方程;
          


          (2)若存在，使得，求的最大值； 
          


           
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：模擬題
				題型：解答題
			
          

						
          已知f（x）=2x-x2，g（x）=logax（a＞0且a≠1），
          （Ⅰ）過P（0，2）作曲線y=f（x）的切線，求切線方程；
          （Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）在定義域上為減函數(shù)，且其導(dǎo)函數(shù)y=h′（x）存在零點，求實數(shù)a的值。 
          

			
          

			
          
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