Question

已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)fn(x)=xn，（x∈N^*），其導(dǎo)函數(shù)記為f_n′（x），且滿足fn′[ax1+(1-a)x2]  =

f2(x2)-f2(x1)

x2-x1

，其中a，x₁，x₂為常數(shù)，x₁≠x₂．設(shè)函數(shù)g（x）=f₁（x）+mf₂（x）-lnf₃（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）無(wú)極值點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)g′（x）有零點(diǎn)，求m的值；
（Ⅲ）求函數(shù)g（x）在x∈[0，a]的圖象上任一點(diǎn)處的切線斜率k的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)f₂（x）=x²f₂'（x）=2x，可得2[ax1+(1-a)x2]  =

x22-x12

x2-x1

，化簡(jiǎn)可求a=

1

2

；
（Ⅱ）根據(jù)f₁（x）=xf₂（x）=x²f₃（x）=x³，可得g（x）=mx²+x-3lnx（x＞0）．利用函數(shù)g（x）無(wú)極值點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)g′（x）有零點(diǎn)，可得該零點(diǎn)左右g′（x）同號(hào)，從而可得二次方程2mx²+x-3=0有相同實(shí)根，故可求m的值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a=

1

2

，k=g′（x）=2mx-

3

x

+1，k′=2m+

3

x2

，

3

x2

∈[12，+∞)，分類討論：①當(dāng)-6≤m＜0或m＞0時(shí)，k′≥0恒成立，最大值為m-5；②當(dāng)m＜-6時(shí)，由k′=0，得x=

- 3 2m

，而0＜

- 3 2m

＜

1

2

，可得x=

- 3 2m

時(shí)，k取得最大值且最大值為1-2

-6m

．

解答：解：（Ⅰ）∵f₂（x）=x²f₂'（x）=2x
∴2[ax1+(1-a)x2]  =

x22-x12

x2-x1

∴（x₁-x₂）（2a-1）=0
∵x₁≠x₂，∴a=

1

2

；
（Ⅱ）∵f₁（x）=xf₂（x）=x²f₃（x）=x³，∴g（x）=mx²+x-3lnx（x＞0）
∴g′（x）=

2mx2+x-3

x

∵函數(shù)g（x）無(wú)極值點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)g′（x）有零點(diǎn)，
∴該零點(diǎn)左右g′（x）同號(hào)，
∵m≠0，∴二次方程2mx²+x-3=0有相同實(shí)根
∴△=1+24m=0
∴m=-

1

24

；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a=

1

2

，k=g′（x）=2mx-

3

x

+1，k′=2m+

3

x2

∵x∈[0，

1

2

]，∴

3

x2

∈[12，+∞)
∴①當(dāng)-6≤m＜0或m＞0時(shí)，k′≥0恒成立，∴k=g′（x）在（0，

1

2

]上遞增
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，k取得最大值，且最大值為m-5；
②當(dāng)m＜-6時(shí)，由k′=0，得x=

- 3 2m

，而0＜

- 3 2m

＜

1

2

若x∈(0，

- 3 2m

)，則k′＞0，k單調(diào)遞增；
若x∈(

- 3 2m

，

1

2

)，則k′＜0，k單調(diào)遞減；
故當(dāng)x=

- 3 2m

時(shí)，k取得最大值且最大值為1-2

-6m

．
綜上，k_max=

m-5，(-6≤m＜0或m＞0) 1-2 -6m ，(m＜-6)

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)．