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				是否存在常數(shù)a，b，c，使得等式
          1·22+2·32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）對一切正整數(shù)n都成立？證明你的結論.
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          解：假設存在常數(shù)a，b，c，使得等式成立.
          則當n=1，2，3時，有
          1·22=（a+b+c），1·22+2·32=（4a+2b+c），1·22+2·32+3·42=9a+3b+c.
          得a=3，b=11，c=10.
          下面用數(shù)學歸納法證明：
          1·22+2·32+…+n（n+1）2=·（3n2+11n+10）.
          （1）當n=1時，左邊=1·22=4，右邊=4，等式成立.
          （2）假設當n=k時，等式成立，即
          1·22+2·32+…+k（k+1）2=·（3k2+11k+10）.
          當n=k+1時
          1·22+2·32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2
          =（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）2=（3k2+5k+12k+24）
          =［3（k+1）2+11（k+1）+10］,
          即當n=k+1時，等式成立.
          由（1）（2）可知，對任何正整數(shù)n，等式都成立.
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          是否存在常數(shù)a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）對于任意的n∈N+總成立？若存在，求出來并證明；若不存在，說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知f(x)=2sin2x+2
          		3
          sinxcosx          ，x∈[0，
          π
          2
          ]          ．
          （1）求函數(shù)f（x）的最值，及相應的x值；
          （2）若|f（x）-a|≤2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
          （3）若函數(shù)g（x）=-2af（x）+2a+b，是否存在常數(shù)a，b∈Z，使得g（x）的值域為[-2，4]？若存在，求出相應a，b的值，若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          在公差為d（d≠0）的等差數(shù)列{an}和公比為q的等比數(shù)列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3．
          （Ⅰ）求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
          （Ⅱ）是否存在常數(shù)a，b，使得對于一切正整數(shù)n，都有an=logabn+b成立？若存在，求出常數(shù)a和b，若不存在說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2007•河東區(qū)一模）已知公差不為零的等差數(shù)列{xn}和等比數(shù)列{yn}中，x1=y1=1，x2=y2，x6=y3．是否存在常數(shù)a、b，使得對于一切正整數(shù)n，都有xn=logayn+b成立？如果存在，求出a和b的值；如果不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2008•虹口區(qū)二模）已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2（
          n+1n
          ）2an
          （1）求數(shù)列{an}的通項公式
          （2）設bn=（An2+Bn+C）•2n，是否存在常數(shù)A、B、C，使對一切n∈N*，均有an=bn+1-bn成立？若存在，求出常數(shù)A、B、C的值，若不存在，說明理由
          （3）求證：a1+a2+…+an≤（n2-2n+2）•2n，（ n∈N*）
          

			
          

			
          
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