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        1. 是否存在常數(shù)a,b使等式1-n+2-(n-1)+3-(n-2)+…+n-1=an(n+b)(n+2)對(duì)于任意的n∈N+總成立?若存在,求出來并證明;若不存在,說明理由.
          分析:可假設(shè)存在常數(shù)a,b使等式1-n+2-(n-1)+3-(n-2)+…+n-1=an(n+b)(n+2)對(duì)于任意的n∈N+總成立,令n=1與n=2列方程解得a,b再用數(shù)學(xué)歸納法證明.
          解答:解:假設(shè)存在常數(shù)a,b使等式1-n+2-(n-1)+3-(n-2)+…+n-1=an(n+b)(n+2)對(duì)于任意的n∈N+總成立,
          令n=1與n=2得:
          1=a(1+b)×3
          1×2+2×1=2a(2+b)×4
          解得:
          a=
          1
          6
          b=1

          即1-n+2-(n-1)+3-(n-2)+…+n-1=
          1
          6
          n(n+1)(n+2).
          下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
          (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1×1=1,右邊=
          1
          6
          ×1×1×(1+1)×(1+2)=1,因此左邊=右邊,
          ∴當(dāng)n=1時(shí)等式成立,
          (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立,
          即1×k+2×(k-1)+3×(k-2)+…+k×1=
          1
          6
          k(k+1)(k+2),
          那么當(dāng) n=k+1時(shí),
          1×(k+1)+2×[(k+1)-1]+3×[(k+1)-2)]+…+(k+1)×1
          =[1×k+2×(k-1)+3×(k-2)+…+k×1]+[1+2+3+…+(k+1)]
          =
          1
          6
          k(k+1)(k+2)+
          (1+k+1)•(k+1)
          2

          =
          1
          6
          (k+1)(k+2)(k+3)
          =
          1
          6
          (k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]
          所以,當(dāng) n=k+1時(shí)等式也成立.
          根據(jù)(1)和(2),可知等式對(duì)任何n∈N+都成立.
          點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)學(xué)歸納法,對(duì)于本題“是否存在”型的問題,先假設(shè)存在,通過題意求得a、b的值,再用數(shù)學(xué)歸納法予以證明,難點(diǎn)在于n=k+1時(shí),等式成立的證明,要用好歸納假設(shè),屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (1)求d和q;

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