Question

設函數f （x）=2cosx （cosx+

3

sinx）-1，x∈R．
（1）求f （x）的最小正周期T及單調遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，C=90°，求f （A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將f （x）=2cosx （cosx+

3

sinx）-1化為f（x）=2sin（2x+

π

6

）即可求f （x）的最小正周期T及單調遞增區(qū)間；
（2）由已知得A∈（0，

π

2

），f（A）=2sin（2A+

π

6

），求得2A+

π

6

的范圍，利用正弦函數的單調性可求得f （A）的取值范圍．

解答：解：（1）∵f （x）=2cosx （cosx+

3

sinx）-1
=2cos²x+2

3

sinxcosx-1
=cos2x+

3

sin2x…3′
=2sin（2x+

π

6

）
∴T=

2π

2

=π，…4′
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，…7′
（2）由已知得A∈（0，

π

2

），
f（A）=2sin（2A+

π

6

），
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

7π

6

，…9′
故-1＜f（A）≤2，
∴f（A）≤∈（-1，2]…12

點評：本題考查三角函數的化簡求值，著重考查二倍角公式與輔助角公式的應用，考查正弦函數的單調性，屬于三角函數的綜合應用，屬于中檔題．