Question

【題目】已知，

（1）若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)

的系數(shù)；

（2）若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

【答案】（1）70（2）（2x）10

【解析】

試題分析：（1）第k+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，由題意可得關(guān)于n的方程，求出n．而二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等；n為偶數(shù)時(shí)，中間只有一項(xiàng)．（2）由展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，可得關(guān)于n的方程，求出n．而求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，可通過解不等式組求得，假設(shè)項(xiàng)的系數(shù)最大，項(xiàng)的系數(shù)為，則有

試題解析：（1）通項(xiàng)Tr＋1＝n－r·（2x）r＝22r－nxr，（此題可以用組合數(shù)表示結(jié)果）

由題意知，，成等差數(shù)列，

∴＝，∴n＝14或7.

當(dāng)n＝14時(shí)，第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，該項(xiàng)的系數(shù)為22×7－14＝3 432；

當(dāng)n＝7時(shí)，第4、5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，

其系數(shù)分別為22×3－7=，22×4－7=70.

（2）由題意知＝79，

∴n＝12或n＝－13（舍）．

∴Tr＋1＝22r－12xr.

由得 ∴r＝10.

∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11＝22×10－12·x10＝（2x）10.