Question

【題目】如圖所示，在四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2． （Ⅰ）若M為CD中點(diǎn)，求證：AM⊥平面AA1B1B；
（Ⅱ）求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵四邊形為菱形，∠BAD=120°，連結(jié)AC， ∴△ACD為等邊三角形，
又∵M(jìn)為CD中點(diǎn)，∴AM⊥CD，
由CD∥AB得，∴AM⊥AB，
∵AA1⊥底面ABCD，AM底面ABCD，∴AM⊥AA1 ，
又∵AB∩AA1=A，∴AM⊥平面AA1B1B
解：（Ⅱ）∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2，
∴DM=1， ，∠AMD=∠BAM=90°，
又∵AA1⊥底面ABCD，
分別以AB，AM，AA1為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，
則A1（0，0，2）、B（2，0，0）、 、 ，
∴ ， ， ，
設(shè)平面A1BD的一個法向量 ，
則有 ，令x=1，則 ，
∴直線DD1與平面A1BD所成角θ的正弦值：
．

【解析】（Ⅰ）推導(dǎo)出AM⊥CD，AM⊥AB，AM⊥AA1 ， 由此能證明AM⊥平面AA1B1B（Ⅱ）分別以AB，AM，AA1為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，利用向量法能求出直線DD1與平面A1BD所成角θ的正弦值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能得出正確答案．