Question

如圖，ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，P為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求四面體PCEF的體積．

Answer 1

分析：（1）證明平面PCF內(nèi)的直線PC，垂直平面PDE內(nèi)的兩條相交直線DE，PD，就證明了平面PCF⊥平面PDE；
（2）說明P到平面PCEF的距離為PQ=2a，求出S△CEF=

1

2

DC•CF的面積，然后求四面體PCEF的體積．

解答：證明：（1）因?yàn)锳BCD為矩形，AB=2BC，P為AB的中點(diǎn)，
所以三角形PBC為等腰直角三角形，∠BPC=45°．
同理可證∠APD=45°．
所以∠DPC=90°，即PC⊥PD．
又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD內(nèi)，所以PC⊥DE．
因?yàn)镈E∩PD=D，所以PC⊥PDE．
又因?yàn)镻C在平面PCF內(nèi)，所以平面PCF⊥平面PDE；
解：（2）因?yàn)镃F⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
所以DE∥CF．又DC⊥CF，
所以S△CEF=

1

2

DC•CF=

1

2

×4a×2a=4a2．
在平面ABCD內(nèi)，過P作PQ⊥CD于Q，則
PQ∥BC，PQ=BC=2a．
因?yàn)锽C⊥CD，BC⊥CF，
所以BC⊥平面CEF，即PQ⊥平面CEF，
亦即P到平面CEF的距離為PQ=2a
.VPCEF=VP-CEF=

1

3

PQ•S△CEF=

1

3

•4a2•2a=

8

3

a3．
（注：本題亦可利用VP-CEF=VB-CEF=VE-BCF=VD-BCF=

1

6

DC•BC•CF=

8

3

a3求得）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查邏輯思維能力，推理能力，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．