Question

已知兩點(diǎn)M(-2，0)，N(2，0)，動(dòng)點(diǎn)P在y軸上的射影為為H，||是2和的等比中項(xiàng).

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并指出方程所表示的曲線；

(Ⅱ)若以點(diǎn)M，N為焦點(diǎn)的雙曲線C過直線x+y=1上的點(diǎn)Q，求實(shí)軸最長的雙曲線C的方程．

Answer 1

解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x，y)，則H(0，y)，

=(-x，0)，=(-2-x，-y)，=(2-x，-y).

∴·=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x²-4+y²,||=|x|

由題意得||²=2·,即x²=2(x²-4+y²)

即=1(x≠0) 

(Ⅱ)由已知求得N(2，0)關(guān)于直線x+y=1的對稱點(diǎn)

E(1，-1)，則|QK|=|QN|

雙曲線C的實(shí)軸長2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=(當(dāng)且僅當(dāng)Q、E、M共線時(shí)取“=”)，此時(shí)，實(shí)軸長2a最大為所以，雙曲線C的實(shí)半軸長a=

又∵c=|NM|=2，∴b²=c²-a²=

∴雙曲線C的方程為=1