Question

【題目】單位圓的內(nèi)接正n(n≥3)邊形的面積記為，則f(3)=_____; 下面是關于的描述：

③ ④

其中正確結論的序號為__________．（注：請寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】 ①③④

【解析】半徑為1的圓的內(nèi)接正n邊形的邊長為2sin，

邊心距為cos，

則正n邊形的面積為f（n）=n2sincos=sin，

可得f（3）=sin=；

考慮函數(shù)f（x）=sin，x＞2，且x∈N，

可得導數(shù)f′（x）=sin﹣cos，

當x=3，4時，f′（x）＞0成立；

當x＞4，且x∈N，0＜＜，

有0＜sin＜1，0＜cos＜1，

且sin＜＜tan，

可得sin＞cos，

可得f′（x）＞0，

則f（x）在x＞2，且x∈N，為增函數(shù)，

則f（n）＜f（n+1）；

由于f（n）為增函數(shù)，且sin＜，0＜＜，

可得f（n）＜=π，

即f（n）取不到π；

又f（n）﹣f（2n）=sin﹣nsin=nsincos﹣nsin

=nsin（cos﹣1）＜0，即f（n）＜f（2n）；

由f（2n）﹣2f（n）=nsin﹣2sin=nsin（1﹣2cos），

由于n≥3，可得≤cos＜1，

可得f（2n）﹣2f（n）≤0，

即f（2n）≤2f（n）．

綜上可得，正確結論序號為①③④．

故填；①③④．