Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處切線的斜率為，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）.

【解析】

（1）對求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義代入，可求得切線的斜率，進(jìn)而可得a的值；分別判斷當(dāng)、時(shí)，的正負(fù)，即可判斷的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，由得或，分別求出、和時(shí)，的單調(diào)性，并求出極值個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，由得，判斷的單調(diào)性，可得，又時(shí)，，時(shí)，，綜合分析，即可得答案.

（1）由題，

則，得，

此時(shí)，由得.

則時(shí)，，為增函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù)，且，所以為R上的增函數(shù).

（2）①當(dāng)時(shí)，由得或，

若，由（1）知，為R上的增函數(shù).

由，，

所以只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

若，則時(shí)，，為增函數(shù)；時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù).

而，故最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

若時(shí)，則時(shí)，，為增函數(shù)；時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù).

得，故最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

②當(dāng)時(shí)，由得，

由得，為減函數(shù)，由得，為增函數(shù)，

則.又,

，

所以當(dāng)時(shí)，始終有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，a的取值范圍是