Question

如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點E在底面圓周上，點F在DE上，且AF⊥DE，若圓柱的側(cè)面積與△ABE的面積之比等于4π． 
（Ⅰ）求證：AF⊥BD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-E的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證BE⊥AF，而AF?平面ADE，可先證BE⊥平面ADE，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BE與平面ADE內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知BE⊥AF，又AF⊥DE，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）取BD的中點M，連接AM，F(xiàn)M，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠AMF為二面角A-BD-E的平面角，過點E作EO⊥AB，垂足為O，在Rt△AFM中，求出此角的正弦值即可求出所求．

解答：解：（Ⅰ）因為AD⊥平面ABE，所以AD⊥BE．（1分）
又AE⊥BE，AD∩AE=A，所以BE⊥平面ADE．（2分）
因為AF?平面ADE，所以BE⊥AF．（3分）
又AF⊥DE，所以AF⊥平面BDE，故AF⊥BD．（4分）

（Ⅱ）取BD的中點M，連接AM，F(xiàn)M．
因為AB=AD，則AM⊥BD．因為AF⊥平面BDE，則AF⊥BD．
所以BD⊥平面AFM，從而FM⊥BD，所以∠AMF為二面角A-BD-E的平面角．（6分）
過點E作EO⊥AB，垂足為O．
設(shè)圓柱的底半徑為r，因為圓柱的軸截面ABCD是正方形，
則圓柱的母線長為2r，所以其側(cè)面積為2πr•2r=4πr²，
又△ABE的面積為

1

2

•2r•OE=r•OE．
由已知，

4πr2

r•OE

=4π，則OE=r，
所以點O為圓柱底面圓的圓心．（8分）
在Rt△AOE中，AE=

OA2+OE2

=

2

r．
在Rt△DAE中，DE=

AD2+AE2

=

6

r，AF=

AD•AE

DE

=

2 2 r

6

=

2r

3

．（10分）
又AM=ABsin45°=

2

r，在Rt△AFM中，sin∠AMF=

AF

AM

=

2

3 • 2

=

6

3

．
故二面角A-BD-E的正弦值為

6

3

．（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，以及二面角的度量等有關(guān)知識，考查空間想象能力和思維能力，計算能力，以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．