Question

(本小題滿分12分)如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點E在底面圓周上，點F在DE上，且AF⊥DE，若圓柱的側面積與△ABE的面積之比等于4π.

（Ⅰ）求證：AF⊥BD；（Ⅱ）求二面角A―BD―E的正弦值.

Answer 1

(Ⅰ) 見解析   (Ⅱ)   

解析:

（Ⅰ）因為AD⊥平面ABE，所以 AD⊥BE.  （1分）

又AE⊥BE，AD∩AE＝A，所以BE⊥平面ADE.

（2分）因為AF平面ADE，所以BE⊥AF.      （3分）

又AF⊥DE，所以AF⊥平面BDE，故AF⊥BD.                                  （4分）

（Ⅱ）取BD的中點M，連結AM，F(xiàn)M.

因為AB＝AD，則AM⊥BD.因為AF⊥平面BDE，則AF⊥BD.

所以BD⊥平面AFM，從而FM⊥BD，所以∠AMF為二面角A―BD―E的平面角.    （6分）

過點E作EO⊥AB，垂足為O.

設圓柱的底半徑為r，因為圓柱的軸截面ABCD是正方形，

則圓柱的母線長為2r，所以其側面積為，

又△ABE的面積為.

由已知，，則OE＝r，

所以點O為圓柱底面圓的圓心.                                                 （8分）

在Rt△AOE中，.

在Rt△DAE中，，.       （10分）

又，在Rt△AFM中，.

故二面角A―BD―E的正弦值為.  （12分）