Question

如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點E在底面圓周上，點F在DE上，且AF⊥DE，若圓柱的側面積與△ABE的面積之比等于4π。

（Ⅰ）求證：AF⊥BD；

（Ⅱ）求二面角A―BD―E的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析。

（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）因為AD⊥平面ABE，所以 AD⊥BE，                              （1分）

又AE⊥BE，AD∩AE＝A，所以BE⊥平面ADE，                              （2分）

因為AF平面ADE，所以BE⊥AF，                                           （3分）

又AF⊥DE，所以AF⊥平面BDE，故AF⊥BD。                                 （4分）

（Ⅱ）取BD的中點M，連結AM，FM。

因為AB＝AD，則AM⊥BD，因為AF⊥平面BDE，則AF⊥BD。

所以BD⊥平面AFM，從而FM⊥BD，所以∠AMF為二面角A―BD―E的平面角。    （6分）

過點E作EO⊥AB，垂足為O。

設圓柱的底半徑為r，因為圓柱的軸截面ABCD是正方形，

則圓柱的母線長為2r，所以其側面積為，

又△ABE的面積為，

由已知，，則OE＝r，

所以點O為圓柱底面圓的圓心。                                               （8分）

在Rt△AOE中，。

在Rt△DAE中，，。       （10分）

又，在Rt△AFM中，，

故二面角A―BD―E的正弦值為。                                           （12分）