Question

【題目】如圖1，在中，，，為的中點(diǎn)，將沿折起，得到如圖2所示的三棱錐，二面角為直二面角．

（1）求證：平面平面；

（2）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）通過計算證明出二面角為直二面角，即可證明平面平面；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求平面的法向量和平面的法向量，利用向量數(shù)量積可得二面角的余弦值.

（1）證明：在中，，

為的中點(diǎn)，．

又，．．

，．

二面角為直二面角，平面平面．

平面．

又平面，平面平面．

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

可求得，，，．

分別為的中點(diǎn)，

，．

，，

設(shè)平面的法向量為，

由得令，則．

設(shè)平面的法向量為，

由得令，則．

，

二面角的余弦值為．