Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，CD=PD，∠ADP=90°，∠CDP=120°，E，F(xiàn)，G分別為PB，BC，AP的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面EFG∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角D-EF-B的平面角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）欲證平面EFG∥平面PCD，可根據(jù)面面平行的判定定理進(jìn)行證明，即證明EG∥平面PCD，EF∥平面PCD；
（Ⅱ）取PC中點(diǎn)M，連接EM，DM，根據(jù)二面角的平面角的定義證明∠DEM就是二面角D-EF-B的平面角的補(bǔ)角，在△DEM中，即可求出二面角B-EF-D的平面角的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：因?yàn)镋，G分別為BP，AP中點(diǎn)，
所以EG∥AB，
又因?yàn)锳BCD是正方形，AB∥CD，所以EG∥CD，
所以EG∥平面PCD．
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BP，BC中點(diǎn)，所以EF∥PC，
所以EF∥平面PCD．
所以平面EFG∥平面PCD．
（Ⅱ）解：取PC中點(diǎn)M，連接EM，DM，則EM∥BC，
又AD⊥平面PCD，AD∥BC，所以BC⊥平面PCD，
所以EM⊥平面PCD，所以EM⊥DM，EM⊥PC．
因?yàn)镃D=DP，則DM⊥PC，所以 DM⊥平面PCB．
又因?yàn)镋F∥PC，所以EF⊥EM，
所以∠DEM就是二面角D-EF-B的平面角的補(bǔ)角．
不妨設(shè)AD=CD=PD=2，則EM=1，DM=1，∠DEM=

π

4

．
所以二面角D-EF-B的平面角的大小為

3

4

π．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面平行的判定，以及與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．