【題目】已知函數(shù)(其中
,
是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)) .
(1)若對(duì)任意,都有
,求
的取值范圍;
(2)設(shè)(
)的最小值為
,當(dāng)
時(shí),證明:
.
【答案】(1) . (2)證明見解析
【解析】
(1)先求得的導(dǎo)函數(shù)
,對(duì)
分成
三種情況分類討論,結(jié)合
,求得
的取值范圍.
(2)利用的導(dǎo)數(shù)求得
的最小值
.利用函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù),求得
的最大值為零,由此證得
.利用差比較法、分析法,即證
,即證
.用常用不等式
證得上式成立.從而證得不等式
成立.
(1)的定義域?yàn)?/span>
,
,
(i)若時(shí),當(dāng)
時(shí),
,
在
上遞增,且
時(shí),
,所以
不恒成立,故
不符合條件;
(ii)若時(shí),
,所以
符合條件;
(iii)若時(shí),令
,得
,當(dāng)
時(shí),
,
在
上遞減;當(dāng)
時(shí),
,
在
上遞增,
所以,即
,得
,
綜上, 的取值范圍是
.
(2) 的定義域?yàn)?/span>
,
,得
,于是
當(dāng)時(shí),
,
遞減;當(dāng)
時(shí),
,
遞增,
所以,
,得
,當(dāng)
時(shí),
,
遞增;當(dāng)
時(shí),
,
遞減,所以
,
,等價(jià)于
,等價(jià)于
,
由(1)知時(shí),得
,在
時(shí),得
,用
替代
,得
,用
替代
,得
(當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào)), 取
,顯然
成立
綜上知,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左.右焦點(diǎn)分別為
,短軸兩個(gè)端點(diǎn)為
,且四邊形
的邊長(zhǎng)為
的正方形.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若,分別是橢圓長(zhǎng)軸的左,右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)
滿足
,連結(jié)
,交橢圓于點(diǎn)
.證明:
的定值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試問軸上是否存在異于點(diǎn)
,的定點(diǎn)
,使得以
為直徑的圓恒過直線
,
的交點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)
的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某醫(yī)院為篩查某種疾病,需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性,現(xiàn)有份血液樣本,有以下兩種檢驗(yàn)方式:①逐份檢驗(yàn),列需要檢驗(yàn)
次;②混合檢驗(yàn),將其
(
且
)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,這
份的血液全為陰性,因而這
份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了,如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性,為了明確這
份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性,就要對(duì)這
份再逐份檢驗(yàn),此時(shí)這
份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為
次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中,每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的,且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為
.
(1)假設(shè)有5份血液樣本,其中只有2份樣本為陽(yáng)性,若采用逐份檢驗(yàn)的方式,求恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率.
(2)現(xiàn)取其中(
且
)份血液樣本,記采用逐份檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為
,采用混合檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為
.
(i)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí),若,試求
關(guān)于
的函數(shù)關(guān)系式
;
(ii)若,且采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少,求
的最大值.
參考數(shù)據(jù):,
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為
,點(diǎn)
關(guān)于直線
的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓
上.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,過點(diǎn)的直線
與橢圓
交于兩個(gè)不同的點(diǎn)
(點(diǎn)
在點(diǎn)
的上方),試求
面積的最大值;
(3)若直線經(jīng)過點(diǎn)
,且與橢圓
交于兩個(gè)不同的點(diǎn)
,是否存在直線
(其中
),使得
到直線
的距離
滿足
恒成立?若存在,求出
的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,
,
⑴ 若有零點(diǎn),求 m 的取值范圍;
⑵ 確定 m 的取值范圍,使得有兩個(gè)相異實(shí)根.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的上、下頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為B2、B1、A、F,延長(zhǎng)B1F與AB2交于點(diǎn)P,若∠B1PA為鈍角,則此橢圓的離心率e的取值范圍為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),證明:
(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),記
在區(qū)間
的最大值為
,最小值為
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在
軸上,左頂點(diǎn)為
,左焦點(diǎn)為
,點(diǎn)
在橢圓
上,直線
與橢圓
交于
,
兩點(diǎn),直線
,
分別與
軸交于點(diǎn)
,
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)?若經(jīng)過,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請(qǐng)說明理由.
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