Question

已知函數(shù)，其中m，a均為實數(shù)．
（1）求的極值；
（2）設(shè)，若對任意的，恒成立，求的最小值；
（3）設(shè)，若對任意給定的，在區(qū)間上總存在，使得 成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）極大值為1，無極小值．（2）3 -．（3）．

解析試題分析：（1）求函數(shù)極值，先明確定義域為再求其導(dǎo)數(shù)為．由，得x = 1.分析導(dǎo)數(shù)在定義區(qū)間符號正負(fù)，確定函數(shù)先增后減，所以y =有極大值為1，無極小值．（2）不等式恒成立問題，先化簡不等式．化簡不等式的難點有兩個，一是絕對值，二是兩個參量可從函數(shù)單調(diào)性去絕對值，分析兩個函數(shù)，一是，二是.利用導(dǎo)數(shù)可知兩者都是增函數(shù)，故原不等式等價于，變量分離調(diào)整為,這又等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，即在上恒成立．繼續(xù)變量分離得恒成立，即.最后只需求函數(shù)在上最大值,就為的最小值.（3）本題含義為：對于函數(shù)在上值域中每一個值，函數(shù)在上總有兩個不同自變量與之對應(yīng)相等．首先求出函數(shù)在上值域，然后根據(jù)函數(shù)在上必須不為單調(diào)函數(shù)且每段單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的值域都需包含.由在不單調(diào)得，由每段單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的值域都需包含得，.
試題解析：（1），令，得x = 1． 1分
列表如下：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
	+	0	-
g(x)	↗	極大值	↘

 
∵g(1) = 1，∴y =的極大值為1，無極小值． 3分
（2）當(dāng)