Question

【題目】已知是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)且，若ab∈[-1，1]，a+b≠0，有成立.

（1）判斷函數(shù)在[-1，1]上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并加以證明.

（2）解不等式.

（3）若對所有， 恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是增函數(shù)，證明見解析;（2） ;（3）

【解析】

（1）要證明在上的單調(diào)性，應(yīng)考慮定義，設(shè)出上的兩個變量，作差并根據(jù)對其變形，判斷出它的符號，即得其單調(diào)性；

（2）在（1）證明其單調(diào)性的基礎(chǔ)上，結(jié)合其定義域和奇偶性，把不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式組求解；

（3）若對所有， 恒成立，則，對恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，可得：，解得實數(shù)的取值范圍．

（1）任取，且，則，

又∵為奇函數(shù)，

∴，

由已知得，，

∴，即.

∴在上單調(diào)遞增.

（2）∵在上單調(diào)遞增，

∴，∴，

∴不等式的解集為.

（3）因為在[﹣1，1]上是增函數(shù)，

所以，即1是的最大值．

若對所有恒成立，

則有，對恒成立，

即恒成立．

令，它的圖象是一條線段，

那么，

解得：．