Question

函數(shù)f（x）是冪函數(shù)，圖象過（2，8），定義在實(shí)數(shù)R上的函數(shù)y=F（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）+1，求F（x）在R上的表達(dá)式；并畫出圖象．

Answer 1

分析：設(shè)出函數(shù)的解析式，將（2，8）代入可得函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)y=F（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）+1，求出x＜0及x=0時(shí)，F(xiàn)（x）的解析式，可得F（x）在R上的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)分段函數(shù)圖象分段畫的原則畫出圖象．

解答：解：設(shè)y=x^α，（x＞0）；將（2，8）代入得α=3，
當(dāng)x＞0，F(xiàn)（x）=f（x）+1=x³+1------------------------（3分）
當(dāng)x＜0，-x＞0，F(xiàn)（-x）=（-x）³+1=-x³+1，
∵y=F（x）是奇函數(shù)，
∴F（-X）=-F（X）∴F（x）=x³-1------（8分）
∵y=F（x）是定義在實(shí)數(shù)R上的函數(shù)；
∴F（0）=0
∴F(x)=

x3-1(x＜0) 0(x=0) x3+1(x＞0)

------（10分）     
其圖象如下圖所示：

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)圖象的作法，函數(shù)解析式的求解及常用方法，其中求出冪函數(shù)f（x）的解析式是解答的關(guān)鍵．