【題目】已知函數(shù)
（
）
（1）當
，證明
；
（2）如果函數(shù)
有兩個極值點
，
（
），且
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.
（3）當
時，求函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】（1）證明見解析，（2）
，（3）
時有一個零點，當
且
時，
有兩個零點.
【解析】
（1）只需證明
，構(gòu)造函數(shù)
，利用導數(shù)易得證；
（2）求導后可知
的兩根分別為
，
，進而可得
，表示出
，構(gòu)造函數(shù)求其在定義域上的最大值即可；
（3）研究可知
，再分類討論結(jié)合導數(shù)及零點存在性定理即可得出結(jié)論．
（1）
時，
等價于證明：
即證，令
，當
時，
，
單調(diào)遞減
當
時，
，單調(diào)遞增
∴
，∴
，證畢!
（2）
的兩根分別為，
∴
，解得
∴
顯然
在
上單調(diào)遞減.
∴
∴
（3）當時，
，令
∴其只有一個正數(shù)根
，
（
）
且當
時，
，單調(diào)遞增；當
時，
，單調(diào)遞減
∴最大值
令
，
（
）
令
當
時，
，
單調(diào)遞減；
當時，
，單調(diào)遞增
∴
∴
①當
，即
時，，此時只有一個零點
②當
，即且時，此時
，注意到
（i）當
時，
，而
令
取
知
∴在
上有一個零點，另一個零點為1
（ii）當
，即
時，此時取
知
∴有一個零點為1，另一零點在
上，
故時有一個零點，當且時，有兩個零點.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某軟件公司新開發(fā)一款學習軟件，該軟件把學科知識設計為由易到難共12關(guān)的闖關(guān)游戲.為了激發(fā)闖關(guān)熱情，每闖過一關(guān)都獎勵若干慧幣（一種網(wǎng)絡虛擬幣）.該軟件提供了三種獎勵方案：第一種，每闖過一關(guān)獎勵80慧幣；第二種，闖過第一關(guān)獎勵8慧幣，以后每一關(guān)比前一關(guān)多獎勵8慧幣；第三種，闖過第一關(guān)獎勵1慧幣，以后每一關(guān)比前一關(guān)獎勵翻一番（即增加1倍）.游戲規(guī)定：闖關(guān)者須于闖關(guān)前任選一種獎勵方案.已知一名闖關(guān)者沖關(guān)數(shù)一定超過3關(guān)但不會超過9關(guān)，為了得到更多的慧幣，他應如何選擇獎勵方案？
A.選擇第一種獎勵方案B.選擇第二種獎勵方案
C.選擇第三種獎勵方案D.選擇的獎勵方案與其沖關(guān)數(shù)有關(guān)
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數(shù)方程為
（其中
為參數(shù)
），以原點為極點，
軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（1）求曲線的焦點的極坐標；
（2）若曲線的上焦點為
，直線與曲線交于
，
兩點，
，求直線的斜率．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，棱長為1的正方體
中，
是線段
上的動點，則下列結(jié)論正確的是（ ）．
①異面直線
與
所成的角為
②
③三棱錐
的體積為定值
④
的最小值為2．
A.①②③B.①②④C.③④D.②③④
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某種大型醫(yī)療檢查機器生產(chǎn)商，對一次性購買2臺機器的客戶，推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修2次，超過2次每次收取維修費2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修4次，超過4次每次收取維修費1000元.某醫(yī)院準備一次性購買2臺這種機器�，F(xiàn)需決策在購買機器時應購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺這種機器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：
維修次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 |
臺數(shù) | 5 | 10 | 20 | 15 |
以這50臺機器維修次數(shù)的頻率代替1臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這2臺機器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)。
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金及維修費用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】現(xiàn)代足球運動是世上開展得最廣泛、影響最大的運動項目，有人稱它為“世界第一運動”．早在2000多年前的春秋戰(zhàn)國時代，就有了一種球類游戲“蹴鞠”，后來經(jīng)過阿拉伯人傳到歐洲，發(fā)展成現(xiàn)代足球．1863年10月26日，英國人在倫敦成立了世界上第一個足球運動組織——英國足球協(xié)會，并統(tǒng)一了足球規(guī)則．人們稱這一天是現(xiàn)代足球的誕生日．如圖所示，足球表面是由若干黑色正五邊形和白色正六邊形皮圍成的，我們把這些正五邊形和正六邊形都稱為足球的面，任何相鄰兩個面的公共邊叫做足球的棱．已知足球表面中的正六邊形的面為20個，則該足球表面中的正五邊形的面為______個，該足球表面的棱為______條．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中
為實數(shù)，
為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在實數(shù)，使得對任意給定的
，在區(qū)間
上總存在三個不同的
，使得
成立？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】
已知函數(shù)
.
（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；
（2）設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=ln x 在點A(x0，ln x0)處的切線也是曲線
的切線.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
以直角坐標系的原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點
的直角坐標為
，若直線
的極坐標方程為
曲線
的參數(shù)方程是
（
為參數(shù)）.
（1）求直線
和曲線
的普通方程；
（2）設直線
和曲線
交于
兩點，求
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