Question

【題目】已知圓心C在直線上的圓過(guò)兩點(diǎn)，.

（1）求圓C的方程；

（2）若直線與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，求AB的方程；②在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使，若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析，

【解析】

（1）設(shè)圓的方程為，根據(jù)已知條件列出方程組，解方程組即得；（2）①直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，AB的長(zhǎng)度和圓的半徑已知，則可知圓心到直線的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式，可解得直線斜率k，即得直線方程；②設(shè)，，三點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意可知直線MA、MB的斜率存在，設(shè)斜率分別為，，將與圓的方程聯(lián)立消去y，可得關(guān)于x的一元二次方程，用A，B，M的坐標(biāo)表示，，出若，則有，根據(jù)韋達(dá)定理將轉(zhuǎn)化為含有k和m的式子，可知點(diǎn)M存在，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

解：（1）設(shè)圓C的方程為，

則有

解之得，

所以，圓C的方程為.

（2）①當(dāng)時(shí)，圓心C到直線AB的距離，

又，

∴，

解得，

所以AB的方程是：或.

②設(shè)、、，

由題意知直線MA、MB的斜率存在，分別記為、，

把代入，

整理得，

于是，，，

∴

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的k均有，即有.

所以，存在點(diǎn)滿足要求.