Question

（本小題共14分）
已知橢圓的離心率為
（I）若原點到直線的距離為求橢圓的方程；
（II）設過橢圓的右焦點且傾斜角為的直線和橢圓交于A，B兩點.
（i）當，求b的值；
（ii）對于橢圓上任一點M，若，求實數滿足的關系式.

Answer 1

（I）
（II）（i）1
（ii）

（I）  
  解得
橢圓的方程為…………………………………………4分
（II）（i）橢圓的方程可化為：
       ①
易知右焦點，據題意有AB：    ②
由①，②有：   ③
設，

   …………………………………………………………8分
（ii）顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內的向量，有且只有一對實數λ，μ，使得等成立.
設M（x，y），

又點M在橢圓上，   ④
由③有：
則
          ⑤
又A，B在橢圓上，故有   ⑥
將⑥，⑤代入④可得：………………………………14分