Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，直線的斜率為，點(diǎn)，在橢圓上，其中是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）作直線與軸垂直，交橢圓于，兩點(diǎn)（，兩點(diǎn)均不與點(diǎn)重合），直線，與軸分別交于點(diǎn)，，試求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) (2)4

【解析】

（1）根據(jù)直線的斜率求得的關(guān)系式，結(jié)合在橢圓上列方程，求得的值，進(jìn)而求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)出的坐標(biāo)，求得直線的方程，由此求得的坐標(biāo)，即求得的表達(dá)式，對(duì)利用基本不等式，結(jié)合的坐標(biāo)滿足橢圓方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此求得的最小值.

（1）由直線的斜率為可知直線的傾斜角為.

在中，，于是，，

橢圓：，將代入得，所以.

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)點(diǎn)，，，

于是，直線：，令，，

所以，

直線：，令，，

所以，

，

又，，

代入上式并化簡(jiǎn)，

即，

當(dāng)（即）時(shí)取得最小值.