Question

【題目】已知函數的定義域為，其中為常數；

（1）若，且是奇函數，求的值；

（2）若，，函數的最小值是，求的最大值；

（3）若，在上存在個點，滿足，，，使，求實數的取值范圍；

Answer 1

【答案】(1)；(2) 的最大值為；(3)或

【解析】

(1)由奇函數的定義可得,恒成立解得,即可得到的解析式；
(2)化簡,對討論,①時,②時,由二次函數對稱軸,結合單調性即可得到最值；
(3) 畫出當時函數的圖像,再根據函數的單調性分三種情況進行討論,分析函數的單調性從而去絕對值求得最值即可.

(1)因為是奇函數

∴,即恒成立,恒成立.故

(2)因為,,故,所以函數

,對稱軸

①時,對稱軸,函數在上單調遞增,

∴的最小值是,

則,

故的最大值為；

②時,對稱軸,

函數在上單調遞增,在上單調遞減；

∴的最小值是,則,

故的最大值為；

(3) 當時,畫出的圖像如圖.

①當即時,易得在上為增函數,

故

.此時不滿足.

②當,即時,在上為增函數,在上為減函數.此時

.

故,又,故.

③當時, 在上為增函數,在上為減函數,在上為增函數.此時

故,因為解得.

綜上所述, 或