Question

 

  如圖7，橢圓的離心率為，軸被曲線 截得的線段長等于的長半軸長。

（Ⅰ）求，的方程；

（Ⅱ）設與軸的交點為M，過坐標原點O的直線與相交于點A,B,直線MA,MB分別與相交與D,E.

（i）證明：；

(ii)記△MAB,△MDE的面積分別是.問：是否存在直線,使得=?

請說明理由。

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：（I）由題意知，從而，又，解得。

故，的方程分別為。

（II）（i）由題意知，直線的斜率存在，設為，則直線的方程為.

由得，

設，則是上述方程的兩個實根，于是。

又點的坐標為，所以

故，即。

（ii）設直線的斜率為，則直線的方程為，由解得或，則點的坐標為

又直線的斜率為 ，同理可得點B的坐標為.

于是

由得，

解得或，則點的坐標為；

又直線的斜率為，同理可得點的坐標

于是

因此

由題意知，解得 或。

又由點的坐標可知，，所以

故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程分別為和。