Question

已知AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁=CA，P為A₁B上的點(diǎn).

   （1）當(dāng)；

   （2）當(dāng)二面角P―AC―B的大小為的值.

Answer 1

解法1：（1）當(dāng)時(shí).

作PD∥A₁A交AB于D，連CD.

由A₁A⊥面ABC，知PD⊥面ABC.

當(dāng)P為A₁B中點(diǎn)時(shí)，D為AB中點(diǎn).

∵△ABC為正三角形，

∴CD⊥AB，

∴PC⊥AB（三垂線定理）

   （2）過D作DE⊥AC于E，連結(jié)PE，則PE⊥AC，                           

∴∠DEP為二面角P―AC―B的平面角，，

                                                               

                                         

又                   

解法2：建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)AB=BC=AA₁=CA=a.

則

設(shè)

   （1）由的中點(diǎn)，

即時(shí)，PC⊥AB.

   （2）當(dāng)得，

 

設(shè)平面PAC的法向量

取                       

可設(shè)平面ABC的法向量為

（負(fù)值舍去）.